1) Verifique la relación
| Z ÷ W |=| Z | ÷ | W |
para los números complejos:
Z = 1 -5i y W = 2 + 4i
2) Hallar un número complejo Z, tal que:
(7 + 2i).Z + (2 + 3i) = 18 + 10i
3) Demuestre que si Z = a+bi, entonces se tiene a = (Z +͞ z ) ÷2 y b = (Z - ͞z ) ÷ 2i
4) Coordenadas polares de un número complejo. Forma trigonométrica. Explique
5) Definición de número complejo. Representación gráfica. Ejemplos.
6) Suma de números complejos. Propiedades. Demostraciones.
7) Forma exponencial de un número complejo. De ejemplos
8 ) Resolver ( -3 + 2i )^5
9) Dado Z = (-3, 2), pasarlo a la forma trigonométrica y exponencial
10) Producto entre números complejos. Propiedades. Demostraciones.
11) Resolver
Z² - 4Z = -13
12) Desarrollar Z^4 siendo:
Z= 3. ( cos 20° + i sen 20°)
13) Dados z = -3 + 4i, w = 5 – 2i, s = ½ - I, t = -¼ i Resolver:
a) (z – w) . t
b) z . t – w .t
c) (z – t) . 4w
14) Desarollar ( - 3 – i ) ^ 5
15) Dados z = -3 + 4i, w = 5 – 2i, s = ½ - I, t = -¼ i Resolver:
a) z³ . w²
b) –2w + 2͞z . t
16) Resolver
√(-2-3i) =
17) Desarrollar ( ⅔ - 2i ) ^ 6
18 ) Resolver √(½ - 3 i )
19) Expresar z = (-4, 1) de todas las maneras posibles
20) Resolver
√( -1 – i )
21) Desarrrollar ( -1 – i ) ^ 11
22) Determinar un polinomio de coeficientes reales tal que dos de sus raices son (- 2–3 i ) y ( 4 + i)
23) Sean z = -2 + 3i ; w = 2 + 2i ; s = 4i . calcular
a) ( z . ͞w) ÷ s
b) | z .s |
24) Sean z = -2 - 3i ; w = 2 + 2i ; s = - 4i . calcular
√w ÷ s − ͞z
25) Módulo o valor absoluto de un número complejo. Definición. Demostración analítica y gráfica.
26) Sean z = 1 – i ; w = 3 + i . Calcular
½.(( z ÷ ͞z ) + ( ͞w ÷ w))
27) Sean z = 1 – i ; w = √3 + i . Calcular
a) Re ( √3 z - ͞w )
b) Im ( ͞z + w)
28 ) Siendo z = 3 – i , w = -4 – 2 i , Desarrollar
(-2. z + 3 w² ) ^ 4
29) Calcular
√( -2 + √3 i )
29) Propiedades del módulo de un número complejo. Demostrar
30) Resolver
(-2 + 1/3 i ) ÷ (-2 – i )³
31) Resolver
√( 4 – ½ i )
32) Expresar z = 5/3 e ^ i ¾Π en forma binómica
33) Potencias sucesivas de i. Demostración
34) Sean los números complejos Z1 = 1 + 2i, Z2 = 5 + 3i y Z3 = 4 + i. Efectuar las siguientes operaciones:
a) Z1 . Z2
b) Z2 . ͞z3
c) Z1 . Z2 . Z3
d) Z1÷Z2
d) (Z1 + Z2)÷(Z3 - Z2)
e) 5Z2 - 6Z3
35) Calcular
a) (3 + 2i)²−(4 + 2i)
b) [(5 + 2i) + (4 − i)] ÷(6 + 5i)
c) (5 + 2i) +( 6 -2i)³
d) (6 + 2i).(1 −5i)÷(7 + 4i)²
e) 5(1 − i) + 6(7 + 1/2i)
f) (-3 - i) + (4 - 8i). [(5 + 3i) - (6 + 7i)]
g) (5 + 4i)² - (1 - 5i)²
h) 5((3 + 2i) + (3 + 2i).(1 + 5i)
36) Verifique la relación |Z.W| = |Z| . |W| para los números complejos Z = 5 + i y W = 3 - 2i
37) División de números complejos
38 ) Hallar el polinomio de tercer grado con coeficientes reales tal que dos de sus raíces son 3 y - 2 - ⅔ i y coeficiente principal -1
39) Calcular
( ( a + i )³ - ( a – i )³ ) ÷ ( ( a + i )² - ( a – i )² )
40) Calcular
( 1 + i ) ÷ ( 1 – i ) – ( 1 – 2 i ) ÷ ( 1 + i )
41) ¿ Cuál es la condición necesaria y suficiente para que dos números complejos expresados en forma exponencial sean iguales? De ejemplos
42) Raíz cuadrada de un número complejo. Explique
43) Sean z = 1 – i ; w = √3 + i . Calcular:
| ( z + w + 1 ) ÷ ( z + w – i ) |
44) Hallar un número complejo cuyo módulo es igual a 5 y su parte real es igual a 3.
45) Hallar un número complejo Z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y que además cumple Z² = -7 + 24i
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