Incremento de una función:
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a+h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media:
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incremen tos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x² en el intervalo [0,2]
Solución:
T.V.M. [0, 2] =
Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería:
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por f ' (a), por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1
Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a, también puede expresarse así:
Observación 2.
También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f ’- (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.
Proposición.
Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso.
Aplicación física de la derivada:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Interpretación geométrica de la derivada:
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a+h. Si h tiende a cero, el punto a+h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar: