Polinomios

1- Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2) + 7X2 + 2

3) 1 − x4

4)

5) x3 + x5 + x2

6) x − 2x−3 + 8

7)

2- Escribe:

1) Un polinomio ordenado sin término independiente.

2) Un polinomio no ordenado y completo.

3) Un polinomio completo sin término independiente.

4) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

3- Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x) − U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) − R (x) =

5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x) − T(x) + U(x) =

4- Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

Q(x) + R(x) − P(x)=

5- Multiplicar:

1) (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

6- Dividir:

1) (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2) (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3) P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

7- Divide por Ruffini:

1) (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2) (x5 − 32) : (x − 2)

3) (x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)

8- Halla el resto de las siguientes divisiones:

1) (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2) (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

3) ( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

9- Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1) (x3 − 5x −1) : (x − 3)

2) (x6 − 1) : (x + 1)

3) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

4) (x10 − 1024) : (x + 2)

10- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1) (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2) (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

4) (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

11- Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

12- Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x2 + x + 1.

13- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

14- Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

15- Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

16- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.